Contrôle 1 — Limites, continuité et dérivabilité

1) Asymptote de la fonction rationnelle

On considère \[f(x)=\frac{-2x^2+3x+1}{x^2+1}.\] Le numérateur et le dénominateur sont de même degré. Ainsi, \[\lim_{x\to\pm\infty}f(x) = \frac{-2}{1} = -2.\] La courbe admet donc l’asymptote horizontale \[y=-2.\]

Conclusion : Réponse c) : \(y=-2\).

2) Limite avec l’exponentielle

Lorsque \(x\to-\infty\), \[e^x\longrightarrow0.\] Par conséquent, \[\lim_{x\to-\infty}\frac{e^x+1}{e^x-1} = \frac{0+1}{0-1} = -1.\]

Conclusion : Réponse a) : \(-1\).

3) Continuité en \(0\)

Pour \(x\neq0\), \[f(x)=e^{-1/x^2}.\] Lorsque \(x\to0\), \[\frac1{x^2}\to+\infty, \qquad -\frac1{x^2}\to-\infty,\] donc \[e^{-1/x^2}\to0.\] Or \[f(0)=0.\] Ainsi \[\lim_{x\to0}f(x)=f(0),\] ce qui est exactement la condition de continuité en \(0\).

Conclusion : Réponse c) : \(f\) est continue en \(0\).

4) Dérivée de \(f(x)=\dfrac{x}{e^x}\)

On écrit \[f(x)=xe^{-x}.\] Par la formule de dérivation d’un produit, \[f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = (1-x)e^{-x}.\]

Conclusion : Réponse b) : \(f'(x)=(1-x)e^{-x}\).

5) Lecture du signe de \(f'\) D’après le graphique, \[f'(x)<0 \text{ sur }[-2,-1[, \quad f'(x)>0 \text{ sur }]-1,1[,\] \[f'(x)<0 \text{ sur }]1,3[, \quad f'(x)>0 \text{ sur }]3,4].\] Ainsi \(f\) décroît avant \(x=3\), puis croît après \(x=3\) sur l’intervalle \([2,4]\). Elle possède donc un minimum en \(x=3\) sur cet intervalle.

Conclusion : Réponse d) : \(f\) admet un minimum en \(3\) sur \([2,4]\).

On considère \[f(x)=-x^3+3x+9.\]

1) Limite en \(+\infty\)

Le terme dominant est \(-x^3\). Comme \[\lim_{x\to+\infty}(-x^3)=-\infty,\] on obtient \[\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.}\]

2) Dérivée

La fonction \(f\) est un polynôme ; elle est donc dérivable sur \(\mathbb R\). On a \[f'(x)=-3x^2+3 =3(1-x^2) =3(1-x)(1+x).\]

Conclusion : \(f'(x)=3(1-x)(1+x)\).

3) Tableau de variation

Les zéros de \(f'\) sont \[x=-1 \qquad\text{et}\qquad x=1.\] Le facteur \(3\) est positif, donc le signe de \(f'\) est celui de \((1-x)(1+x)\) : \[f'(x)<0 \text{ si }x<-1, \qquad f'(x)>0 \text{ si }-1<x<1, \qquad f'(x)<0 \text{ si }x>1.\] De plus, \[f(-1)=1-3+9=7, \qquad f(1)=-1+3+9=11.\] Enfin, \[\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.\]

4) Unicité de la solution de \(f(x)=0\)

Sur \(]-\infty,-1]\), la fonction décroît de \(+\infty\) à \(7\), donc \[f(x)\ge7>0.\] Sur \([-1,1]\), la fonction croît de \(7\) à \(11\), donc elle reste également strictement positive.

Sur \([1,+\infty[\), la fonction \(f\) est continue et strictement décroissante. De plus, \[f(1)=11>0 \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty.\] Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins une solution \(\alpha\in]1,+\infty[\) telle que \(f(\alpha)=0\). Comme \(f\) est strictement décroissante sur cet intervalle, cette solution est unique.

Conclusion : L’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution réelle \(\alpha\), avec \(\alpha>1\).

5) Encadrement à \(10^{-3}\) et signe de \(f\)

À l’aide d’une calculatrice ou d’un algorithme de dichotomie : \[f(2{,}554)\approx 0{,}00247>0,\] tandis que \[f(2{,}555)\approx -0{,}01410<0.\] Puisque \(f\) est continue et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\), \[\boxed{2{,}554<\alpha<2{,}555}.\] On peut aussi écrire \[\alpha\approx2{,}554149.\]

Comme \(f\) ne possède qu’une seule racine et qu’elle est décroissante au voisinage de cette racine, \[\boxed{ \begin{cases} f(x)>0 & \text{si }x<\alpha,\\ f(\alpha)=0,\\ f(x)<0 & \text{si }x>\alpha. \end{cases}}\]

Méthode : Pour un encadrement à \(10^{-3}\), on cherche deux nombres distants de \(0{,}001\) entre lesquels la fonction change de signe.

1) \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3}{1-x}.\] On factorise par la plus grande puissance de \(x\) : \[\frac{x^2+3}{1-x} = \frac{x^2\left(1+\frac3{x^2}\right)} {x\left(\frac1x-1\right)} = x\, \frac{1+\frac3{x^2}}{\frac1x-1}.\] Lorsque \(x\to+\infty\), \[1+\frac3{x^2}\to1, \qquad \frac1x-1\to-1,\] donc l’expression est équivalente à \(-x\).

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2+3}{1-x}=-\infty.\)

2) \[\lim_{x\to-\infty}\frac{3-5e^x}{1+2e^x}.\] Comme \[e^x\to0\quad\text{lorsque }x\to-\infty,\] le dénominateur tend vers \(1\neq0\). On peut donc passer directement à la limite : \[\frac{3-5e^x}{1+2e^x} \longrightarrow \frac{3}{1}=3.\]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{3-5e^x}{1+2e^x}=3.\)

3) \[\lim_{x\to0}\frac{e^x-2}{x^2}.\] Lorsque \(x\to0\), \[e^x-2\to -1 \qquad\text{et}\qquad x^2\to0^+.\] Le numérateur reste donc négatif et éloigné de \(0\), tandis que le dénominateur est positif et tend vers \(0\). Par conséquent, \[\frac{e^x-2}{x^2}\to-\infty.\]

Conclusion : \(\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-2}{x^2}=-\infty.\)

4) \[\lim_{x\to2^+}\sqrt{\frac3{x-2}}.\] Lorsque \(x\to2^+\), \[x-2\to0^+,\] donc \[\frac3{x-2}\to+\infty.\] La fonction racine carrée étant croissante sur \([0,+\infty[\), \[\sqrt{\frac3{x-2}}\to+\infty.\]

5) Théorème des gendarmes

Pour tout \(x\ge1\), \[\frac{x-1}{x+1}\le f(x)\le1+\frac1x.\] Or \[\frac{x-1}{x+1} = \frac{1-\frac1x}{1+\frac1x} \longrightarrow1\] et \[1+\frac1x\longrightarrow1\] lorsque \(x\to+\infty\).

Les deux fonctions qui encadrent \(f\) ont donc la même limite \(1\). D’après le théorème des gendarmes, \[\boxed{\displaystyle \lim_{x\to+\infty}f(x)=1.}\]

On considère \[f(x)=x-3+\frac1{x-1}, \qquad D_f=\mathbb R\setminus\{1\}.\]

1) Limites et asymptotes

À l’infini, \[\frac1{x-1}\to0,\] donc \[\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty}, \qquad \boxed{\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty}.\]

Au voisinage de \(1\), \[\lim_{x\to1^-}\frac1{x-1}=-\infty, \qquad \lim_{x\to1^+}\frac1{x-1}=+\infty.\] Par conséquent, \[\boxed{\lim_{x\to1^-}f(x)=-\infty}, \qquad \boxed{\lim_{x\to1^+}f(x)=+\infty}.\]

La droite \[\boxed{x=1}\] est donc une asymptote verticale.

De plus, \[f(x)-(x-3)=\frac1{x-1}\longrightarrow0 \qquad(x\to\pm\infty),\] donc la courbe possède aussi l’asymptote oblique \[\boxed{y=x-3}.\]

Méthode : L’énoncé parle d’« une asymptote ». Rigoureusement, la courbe en possède deux : l’asymptote verticale \(x=1\) et l’asymptote oblique \(y=x-3\).

2) Dérivée

Pour tout \(x\neq1\), \[f'(x) = 1-\frac1{(x-1)^2}.\] On met au même dénominateur : \[f'(x) = \frac{(x-1)^2-1}{(x-1)^2} = \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}.\] Ainsi, \[\boxed{f'(x)=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}}.\]

3) Résolution de \(f'(x)=0\) et variations

Puisque \((x-1)^2>0\) pour \(x\neq1\), \[f'(x)=0 \iff x(x-2)=0.\] Donc \[\boxed{x=0\quad\text{ou}\quad x=2}.\]

Le signe de \(f'(x)\) est donc celui de \(x(x-2)\) : \[f'(x)>0 \text{ sur }]-\infty,0[,\] \[f'(x)<0 \text{ sur }]0,1[\cup]1,2[,\] \[f'(x)>0 \text{ sur }]2,+\infty[.\] Calculons les valeurs aux points critiques : \[f(0)=-3-1=-4, \qquad f(2)=-1+1=0.\]

Ainsi :

• \(f\) est croissante sur \(]-\infty,0]\) ;

• \(f\) est décroissante sur \([0,1[\) ;

• \(f\) est décroissante sur \(]1,2]\) ;

• \(f\) est croissante sur \([2,+\infty[\).

4) Tangente au point d’abscisse \(3\)

On a \[f(3)=3-3+\frac12=\frac12,\] et \[f'(3) = \frac{3(3-2)}{(3-1)^2} = \frac34.\] L’équation de la tangente en \(x=3\) est \[y=f'(3)(x-3)+f(3).\] Donc \[y=\frac34(x-3)+\frac12 = \frac34x-\frac74.\]

Conclusion : \(\displaystyle T:\ y=\frac34x-\frac74.\)

5) Tangente parallèle à \(y=2x-3\)

Une droite parallèle à \(y=2x-3\) doit avoir pour coefficient directeur \(2\). Il faudrait donc résoudre \[f'(x)=2.\] Or \[1-\frac1{(x-1)^2}=2,\] d’où \[-\frac1{(x-1)^2}=1,\] ce qui est impossible dans \(\mathbb R\).

On peut également observer que, pour tout \(x\neq1\), \[f'(x)=1-\frac1{(x-1)^2}<1,\] donc \(f'(x)\) ne peut jamais être égal à \(2\).

Conclusion : La courbe \(\mathcal C_f\) n’admet aucune tangente parallèle à la droite \(y=2x-3\).